2012/7/17 | 投稿者: 対プリ

配った微積過去問の解答・解説を載せています
(連休中に一人で解いたので解答が全部正しいかあまり自信がないから注意。間違いがあったら指摘お願いします)

また、試験までもう時間がないですが、この短期間で微分方程式が基本問題ぐらいは最低限解けるようにするため、(字は汚いですが)微分方程式の簡単な解説を載せています

○2011年微積過去問解答
[1]
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↑日本語がおかしい部分があった
「正しくはcosltの"係数"を比較して」
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[2]
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2.2.はなんか間違ってるっぽいので削除しました
[3]
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[4]
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○2009年微積過去問解答
[1][2]
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[3]
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[4]
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○微分方程式の解説
※時間がないと思うので基本問題が何とか解ける最低ラインだけ簡単に説明
わかりにくい箇所があったり厳密に学習したい人は図書館で本を探したりネットで検索してください
個人的には「単位が取れる微分方程式ノート」という本がわかりやすかった

用語の定義について
「微分方程式」という言葉から予想がつくとは思いますが、例えばy"-5y'+6y=0を満たす関数yを求めるのが微分方程式を解くということ。
微分方程式には2種類あり、例えばy'+py=qという微分方程式において、
・q=0のときを「同次微分方程式」
・qが0でないときを「非同次微分方程式」
という。

y'を1階微分、y"を2階微分と呼び、微分方程式に現れる微分の最大階数がnのとき、その微分方程式を
「n階微分方程式」と呼ぶ。
(つまり、問題にy'やyだけがあったら1階微分方程式、y"も入っていたら2階微分方程式)

微分方程式には基本的に解はたくさんあるが、たいていどの解も形が似ている。
任意定数Cを使った一般的な解の形を「一般解」と呼ぶ。
(微分方程式の問題は、たいていが一般解を求めよという問題。)

また、任意定数Cをある特定の値に決めてやることで解は一つに定まるが、この解を「特殊解」という。
(つまり、一般解のくくりの中の1つが特殊解。特殊解を自分で見つけてやることで問題が解きやすくなったりすることもある。)

また、微分方程式には一般解の形にそぐわない解が出現することがあるが、これを「特異解」と呼ぶ。
↑特異解は結構どうでもいいので無視してOK

微分方程式は問題の種類がかなりあってとても短時間で終わらせれる分野じゃないので、
とりあえず重要そうな「1階微分方程式」、「1階線形微分方程式」、「2階線形微分方程式」について書こうと思います
(先生がどの微分方程式の範囲まで学習を要求してるか謎ですが過去問には1階か2階しか出てないので)

・1階微分方程式
(変数分離形)
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(同次形)
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(その他)
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・1階線形同次微分方程式
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・1階線形非同時微分方程式
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(画質が悪いせいで公式のpやPが紛らわしいので注意。もしよく見えないなら公式は本で調べるor例題との照らし合わせでの確かめをしてほしいです)

・2階線形同時微分方程式
(定数係数)
「y"+py'+qy=0」(←少し間違ってたので修正)

のような微分方程式を「2階線形同次微分方程式」と呼ぶ。
ここでは、p、qが関数ではなく定数の時を考える。

この微分方程式の特性方程式をλ^2+pλ+q=0と定める。(^は指数を表す)
すると、この方程式の解λを求めることで、この微分方程式の一般解を導き出すことができる。
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(関数係数)
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・2階線形非同時微分方程式
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・2階線形微分方程式の練習問題
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・参考資料
2009年に運動を論ずる問題があったので、とりあえずばねの運動についての資料を上げておきます(難しいしやらなくてもいいと思う)
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